Georg Friedrich (Fritz) Klimsch entstammte der Künstlerfamilie Klimsch aus Frankfurt, aus der seit 1812 Kupferstecher, Lithographen und Kunstmaler hervorgegangen waren.

1886 begann er sein Studium an der Königlichen Akademischen Hochschule für Bildende Künste in Frankfurt unter Albert Wolff (1814-1892) und Fritz Schaper (1841-1919). In seinen Memoiren nennt er jedoch Auguste Rodin (1840-1917) und Adolf von Hildebrandt (1847-1921) als seine eigentlichen Lehrer und Vorbilder.
1894 erhielt er seine erste Auszeichnung: den „Großen Staatspreis“ der Akademischen Hochschule Frankfurt. Im gleichen Jahr eröffnete er sein erstes eigenes Atelier und unternahm eine Studiereise nach Paris, wo er Rodin persönlich kennen lernte. Weitere Reisen nach Italien und Griechenland stärkten sein Interesse für die klassische Kunst.
1898 gründete er gemeinsam mit Max Liebermann (1847-1935), Walter Leistikow (1865-1908) und Franz Skarbina (1849-1910) die Berliner Sezession, in der sie gemeinsam ihre Vorstellungen der Kunst auslebten.
Seine Skulpturen erfreuten sich großer Beliebtheit. So erhielt er 1906 den Auftrag für das Virchow-Denkmal in Berlin, das sich auch noch heute vor der Berliner Charité befindet. 1910 wurde er zum Professor ernannt und trat sechs Jahre später der Hochschule als Mitglied bei. 1921 erhielt er dort einen Lehrstuhl, den er bis 1935 innehatte. Öffentliche Aufträge entfallen jedoch immer mehr, da sich nach Ende des Ersten Weltkrieges neue Stilrichtungen entwickelten, wie Expressionismus, Surrealismus und abstrakte Malerei. Die klassische Kunst verlor dadurch an Bedeutung. Sein Mäzen, der Vorstandsvorsitzende der Bayer AG in Leverkusen, Carl Duisberg unterstützte ihn aber auch weiterhin durch private Käufe. Um sich weiter finanzielle Sicherheit zu verschaffen, verkaufte er an die Firma Rosenthal die Rechte zur Fertigung und zum Vertrieb einiger kleinerer Skulpturen, die in höheren Auflagen in Porzellan und Keramik angefertigt wurden. Die Hockende aus dem Jahr 1926 war dabei sein größter Erfolg.
Mit der Änderung innerhalb der Kulturpolitik bedingt durch die Machtübernahme der Nationalsozialisten stieg das Interesse an klassischer Kunst, sodass Klimsch wieder vermehrt Aufträge erhielt. Neben Preisen und Auszeichnungen war er nun regelmäßig auf der Großen Deutschen Kunstausstellung in München vertreten. Er galt als einer der bekanntesten Bildhauer dieser Zeit.
Bei einem Bombenangriff 1943 wurde seine Wohnung ausgebombt. Dies zum Anlass nehmend zog er nach Strassengel, um dort sein größtes Lebenswerk zu vollenden. Er hatte ein übergroßes Tonmodell für den neu zu errichtenden Mozartbrunnen der Stadt angefertigt, dass jedoch bei Einzug der amerikanischen Truppen 1945 zerstört wurde.
Nach Ende des Zweiten Weltkrieges wurde er als Reichsdeutscher aus Österreich ausgewiesen und siedelte über nach Saig. Anlässlich seines 85. Geburtstages ernannte ihn die Stadt zu ihrem Ehrenbürger.

In seinem Werk war er sehr in der klassischen Antike verwurzelt. Ästhetisch vollendete Skulpturen können als sein Markenzeichen angesehen werden.

Zu seinen Künstlerfreunden zählten unter anderem Liebermann, Max Slevogt (1868-1932), Lovis Corinth (1858-1925), Theo von Brockhusen (1882-1919), Max Pechstein (1881-1955), Robert Breyer (1866-1941), August Gaul (1869-1921), Georg Kolbe (1877-1947) und Richard Scheibe (1879-1964).