Lorenz Bösken begann sein Studium 1906 an der Kunstgewerbeschule in Krefeld unter Jan Thorn-Prikker (1868-1932). Ein Jahr später wechselte er an die Kunstakademie in Düsseldorf und setzte dort sein Studium unter Willy Spatz (1861-1931), Franz Kiederich (1873-1950) und Eduard von Gebhardt (1838-1925) fort. Zum Ende seines Studiums wurde er dort Meisterschüler von Josef Huber-Feldkirch (858-1932).
In dieser Zeit hielt er sich zu Studienzwecken in Rom, Paris, Florenz und München auf.
1912 trat Lorenz Bösken der Düsseldorfer Künstlervereinigung Malkasten bei und gehörte 1919 zu den Mitbegründern des Künstlerbundes  Junge Rheinland. In dieser Zeit hatte er regen Kontakt zu dem Kreis um Johanna Ey, genannt Mutter Ey, (1864-1947).
Zwischen 1933 und 1945 wurde ihm ein Ausstellungsverbot auferlegt. Außerdem verlor er durch einen Bombenangriff 1943 und der damit verbundenen Zerstörung seines Ateliers den Großteil seiner Werke.
Nach Kriegsende beteiligte er sich am kulturellen Wiederaufbau in Düsseldorf und war in verschiedenen Organisationen tätig, wie dem Atelierhaus, der Künstlerhilfe und dem Landesverband bildender Künstler.

Zu seinem Œuvre lassen sich Landschaften, Stadtansichten, Portraits, religiöse Themen und expressive Figuren zählen, auf denen oft Darstellungen von Pferden zu finden sind.
Außerdem sind für Lorenz Bösken Darstellungen von Arbeiten in Stahlwerken oder beim Eisenbahnbau charakteristisch.